摘要

大家好!本文和大家分享一道2021年高考数学真题。这是2021年高考全国乙卷理科数学的第19题,是一道数列题。不过不少同学都被题目给吓住了,因为题干中出现了数列的前n项积。其实,只要大家保持头脑的清醒,这道题的难度并不大。先看第一小问:证明数列{bn}是等差数列。判断一个数列为等差数列的常用方法有4种:定义法、通项公式法、等差中项法、求和公式法。其中,在证明一个数列为等差数列时,最常用的方法是定义...

大家好!本文和大家分享一道2021年高考数学真题。这是2021年高考全国乙卷理科数学的第19题,是一道数列题。不过不少同学都被题目给吓住了,因为题干中出现了数列的前n项积。其实,只要大家保持头脑的清醒,这道题的难度并不大。



先看第一小问:证明数列{bn}是等差数列。



判断一个数列为等差数列的常用方法有4种:定义法、通项公式法、等差中项法、求和公式法。其中,在证明一个数列为等差数列时,最常用的方法是定义法,也就是要证明这个数列从第二项开始,后一项与前一项的差为定值。



回到题目。题干中给出的递推关系中含有Sn和bn,所以要证明数列{bn}是等差数列,就要想办法将递推关系中的Sn消去。



由于bn是数列{Sn}的前n项积,那么对比前n项和可知:bn=S1·S2·...·Sn=b(n-1)·Sn,从而可得Sn=bn/b(n-1)。将其代入递推关系中,去分母得到2b(n-1)+1=2bn,移项得2bn-2b(n-1)=1,即bn-b(n-1)=1/2。



又由于b1=S1,所以有2/b1+1/b1=2,解得b1=3/2。



综上,数列{bn}是以3/2为首项、以1/2为公差的等差数列。



再看第二小问:求数列{an}的通项公式。



直接求数列{an}的通项公式显然是不行的,但Sn是数列{an}的前n项和,而Sn可以通过题干中的递推关系求出其表达式,然后再通过Sn求数列{an}的通项公式。即当n=1时。a1=S1,从而求出a1的值;当n≥2时,an=Sn-S(n-1),从而求出an。还有一点需要注意的是,要将求出来的an取n=1算出的a1的值与a1=S1算出的a1的值进行比较,看看两个是否相等。



由(1)可得,bn=3/2+(n-1)/2=(n+2)/2,代入递推关系中,解得Sn=(n+2)/(n+1)。当n=1时,a1=S1=3/2;当n≥2时,an=Sn-S(n-1)=(n+2)/(n+1)-(n+1)/n=-1/n(n+1),此时若n=1,则a1=-1/2≠3/2,所以an的通项公式要分段来写。



这道题就和大家分享到这里,你学会了吗?

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