一道2021年高考数学真题，不少同学被题目吓住，其实难度并不大

大家好！本文和大家分享一道2021年高考数学真题。这是2021年高考全国乙卷理科数学的第19题，是一道数列题。不过不少同学都被题目给吓住了，因为题干中出现了数列的前n项积。其实，只要大家保持头脑的清醒，这道题的难度并不大。

先看第一小问：证明数列{bn}是等差数列。

判断一个数列为等差数列的常用方法有4种：定义法、通项公式法、等差中项法、求和公式法。其中，在证明一个数列为等差数列时，最常用的方法是定义法，也就是要证明这个数列从第二项开始，后一项与前一项的差为定值。

回到题目。题干中给出的递推关系中含有Sn和bn，所以要证明数列{bn}是等差数列，就要想办法将递推关系中的Sn消去。

由于bn是数列{Sn}的前n项积，那么对比前n项和可知：bn=S1·S2·...·Sn=b(n-1)·Sn，从而可得Sn=bn/b(n-1)。将其代入递推关系中，去分母得到2b(n-1)+1=2bn，移项得2bn-2b(n-1)=1，即bn-b(n-1)=1/2。

又由于b1=S1，所以有2/b1+1/b1=2，解得b1=3/2。

综上，数列{bn}是以3/2为首项、以1/2为公差的等差数列。

再看第二小问：求数列{an}的通项公式。

直接求数列{an}的通项公式显然是不行的，但Sn是数列{an}的前n项和，而Sn可以通过题干中的递推关系求出其表达式，然后再通过Sn求数列{an}的通项公式。即当n=1时。a1=S1，从而求出a1的值；当n≥2时，an=Sn-S(n-1)，从而求出an。还有一点需要注意的是，要将求出来的an取n=1算出的a1的值与a1=S1算出的a1的值进行比较，看看两个是否相等。

由(1)可得，bn=3/2+(n-1)/2=(n+2)/2，代入递推关系中，解得Sn=(n+2)/(n+1)。当n=1时，a1=S1=3/2；当n≥2时，an=Sn-S(n-1)=(n+2)/(n+1)-(n+1)/n=-1/n(n+1)，此时若n=1，则a1=-1/2≠3/2，所以an的通项公式要分段来写。

这道题就和大家分享到这里，你学会了吗？